Círculo Unitario
El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen, usado para definir las funciones trigonométricas para todos los ángulos.
Formula
x^2 + y^2 = 1; \quad (x, y) = (\cos(\theta), \sin(\theta))
Definition
El círculo unitario es un círculo con radio exactamente $1$, centrado en el origen, y es una herramienta poderosa para entender el seno y el coseno en cualquier ángulo. Formalmente, es el círculo $x^2 + y^2 = 1$; para un ángulo $\theta$ medido en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo, el punto terminal es $(\cos(\theta), \sin(\theta))$, extendiendo el seno y el coseno a todos los ángulos reales, no solo a los agudos. Como el conjunto $S^1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$, forma un grupo de Lie compacto bajo la multiplicación compleja, $e^{i\theta} \cdot e^{i\phi} = e^{i(\theta+\phi)}$, cuyos caracteres $e^{in\theta}$ forman una base ortonormal completa de $L^2(S^1)$, el fundamento de las series de Fourier.
Example
En $0^\circ$, el punto sobre el círculo unitario es $(1, 0)$; en $90^\circ$, es $(0, 1)$; en $180^\circ$, es $(-1, 0)$. En $\theta = 2\pi/3$ ($120^\circ$): $x = \cos(120^\circ) = -1/2$, $y = \sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2$, y efectivamente $(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1$. La longitud de arco de un sector con ángulo central $\theta$ es igual a $\theta$ radianes, la definición de la medida en radianes que explica por qué $d/dx[\sin(x)] = \cos(x)$ solo cuando $x$ está en radianes.
Key Insight
Como el radio es $1$, cada punto sobre el círculo es $(\cos(\text{angle}), \sin(\text{angle}))$, lo que permite leer los valores trigonométricos con solo observar las coordenadas, y el círculo unitario unifica todos los valores de ángulos especiales ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $\ldots$) en una sola imagen. $S^1$ es el ejemplo más simple de un grupo de Lie compacto, y su teoría de representación mediante series de Fourier es el prototipo para el análisis armónico en grupos más complejos como $SU(2)$ y $SO(3)$, usados en mecánica cuántica y cristalografía.