集合的并集
jí hé de bìng jí
两个集合的并集是由属于其中任意一个集合(或两者都属于)的所有元素组成的集合,记作 A ∪ B。
Formula
A \cup B = \{x : x \in A \text{ or } x \in B\}
Definition
两个集合的并集把两者中的所有元素合并成一个大集合；只要一个元素出现在其中任意一个集合里，它就属于并集，重复的元素只列出一次。严格地说，$A \cup B = \{x : x \in A \text{ or } x \in B\}$，这里的"or"是可兼或，具有性质 $A \cup A = A$、$A \cup \emptyset = A$、交换律和结合律。对于任意一族集合 $\{A_i\}_{i \in I}$，其并集是 $\bigcup_{i \in I} A_i = \{x : x \in A_i \text{ for some } i \in I\}$；可数多个可测集合的并集是可测的，但不可数并集则未必如此，sigma-代数正是通过在可数并集下封闭来定义的。
Example
对于 $A = \{1, 2, 3\}$ 和 $B = \{3, 4, 5\}$：$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$3$ 同时出现在两者中，但只列出一次。对于 $A = \{x \in \mathbb{Z} : x < 0\}$ 和 $B = \{x \in \mathbb{Z} : x > 0\}$：$A \cup B$ 是所有非零整数。一个更微妙的例子，$\bigcup_{n=1}^{\infty} [1/n, 1] = (0, 1]$，说明无穷并集会逼近却永远不包含 $0$，这也说明闭集的任意并集未必是闭的。
Key Insight
在维恩图中，并集是覆盖两个圆的整个阴影区域。并集对应于逻辑上的"或"，德摩根定律把并集与交集联系起来：$(A \cup B)' = A' \cap B'$。有限并、可数并与不可数并之间的区别，是测度论和拓扑学的核心，不同的封闭条件定义了不同的结构（环、代数、sigma-代数）。