Unión de Conjuntos
La unión de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos (o a ambos), escrito A ∪ B.
Formula
A \cup B = \{x : x \in A \text{ or } x \in B\}
Definition
La unión de dos conjuntos combina todo lo que hay en ambos conjuntos en uno solo; si un elemento aparece en cualquiera de los conjuntos, va a la unión, y los duplicados se listan una sola vez. Formalmente, $A \cup B = \{x : x \in A \text{ or } x \in B\}$, donde "o" es inclusivo, con propiedades $A \cup A = A$, $A \cup \emptyset = A$, conmutatividad y asociatividad. Para una colección arbitraria $\{A_i\}_{i \in I}$, la unión es $\bigcup_{i \in I} A_i = \{x : x \in A_i \text{ for some } i \in I\}$; las uniones numerables de conjuntos medibles son medibles, pero las uniones no numerables podrían no serlo, y las sigma-álgebras se definen por clausura bajo uniones numerables.
Example
Para $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4, 5\}$: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, el $3$ aparece en ambos pero se lista una sola vez. Para $A = \{x \in \mathbb{Z} : x < 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{Z} : x > 0\}$: $A \cup B$ son todos los enteros distintos de cero. Un ejemplo más sutil, $\bigcup_{n=1}^{\infty} [1/n, 1] = (0, 1]$, muestra que una unión infinita se acerca pero nunca incluye a $0$, ilustrando que las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados no necesitan ser cerradas.
Key Insight
En un diagrama de Venn, la unión es toda la región sombreada que cubre ambos círculos. La unión corresponde al OR lógico, y la ley de De Morgan conecta la unión y la intersección: $(A \cup B)' = A' \cap B'$. La distinción entre uniones finitas, numerables y no numerables es central en la teoría de la medida y la topología, donde diferentes condiciones de clausura definen diferentes estructuras (anillos, álgebras, sigma-álgebras).