无定义
wú dìng yì
在数学中，当一个表达式没有任何有效值时，就称它无定义，最常见于除以零的情形。
Definition
当一个表达式在数学中没有答案时，就称它无定义，最常见的情形是除以零。更精确地说，当一个表达式在给定数系中没有任何有意义的值时，它就是无定义的：$a/0$ 对所有 $a$ 都无定义，因为不存在数 $q$ 满足 $0 \cdot q = a$（当 $a \neq 0$ 时）；而当值不唯一时（$a = 0$ 的情形），$0/0$ 被称为不定式而非单纯的无定义，因为它在极限意义下可以趋于任意值。形式上，无定义的表达式意味着一个偏函数在其定义域之外被求值：除法被定义为一个函数 $\mathbb{R} \times (\mathbb{R}\setminus\{0\}) \to \mathbb{R}$，而输入 $(a,0)$ 落在这个定义域之外。
Example
$5/0$ 无定义：你无法把 $5$ 个物体分成 $0$ 组，也没有任何数乘以 $0$ 等于 $5$。$0/0$ 是不定式，因为它在极限意义下可以趋于任意值，$\lim_{x \to 0} x/x = 1$，$\lim_{x \to 0} 2x/x = 2$，$\lim_{x \to 0} x^2/x = 0$，微积分通过洛必达法则或代数化简来处理这类形式。在 IEEE 754 浮点运算中：$1.0/0.0 = +\text{Inf}$，$-1.0/0.0 = -\text{Inf}$，$0.0/0.0 = \text{NaN}$，这些约定是出于计算上的连续性考虑，而非数学真理。
Key Insight
"无定义"不同于"零"或"无穷"：它意味着这个问题本身在该数系中就没有有效的答案。在扩展实数系统（或黎曼球面 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$）中，一些"无定义"的运算被约定赋予了值，但要保持一致性就必须放弃某些代数法则。这一概念在可计算性理论中同样具有基础性地位：图灵机对某些输入可能永不停机，从而产生无定义的输出，而偏函数（只在其自然定义域的一个子集上有定义）正是一切可计算过程的模型。