换元积分法（U 代换）
huàn yuán jī fēn fǎ (U dài huàn)
换元积分法(U 代换)是一种积分技巧,通过用变量 u 替换一个复杂的内层表达式来简化积分。
Formula
\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \, u=g(x)
Definition
换元积分法是一种积分技巧：把函数中一个复杂的内层部分重新命名为"$u$"，从而使积分变得简单，是求积分版本的链式法则。设 $u = g(x)$，于是 $du = g'(x)\, dx$；这把 $\int f(g(x))g'(x)\, dx$ 变换为 $\int f(u)\, du$，对于定积分，你还需要改变积分限：若 $u = g(x)$，新的积分限变为 $g(a)$ 和 $g(b)$。这一方法被形式化为换元定理，在多维情形下推广为雅可比换元公式。
Example
要求 $\int 2x (x^2 + 1)^5\, dx$，令 $u = x^2 + 1$，于是 $du = 2x\, dx$；积分变为 $\int u^5\, du = u^6/6 + C = (x^2+1)^6/6 + C$。对于 $\int_0^1 x e^{x^2}\, dx$：令 $u = x^2$，$du = 2x\, dx$，积分限变为 $u(0)=0$，$u(1)=1$，得到 $(1/2)\int_0^1 e^u\, du = (1/2)(e - 1)$。在多元微积分中，把圆盘上的二重积分转换为极坐标要用到雅可比行列式 $|J| = r$：$\iint f(x,y)\, dA = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr\, d\theta$。
Key Insight
关键是找出一个表达式，它的导数也出现在积分中；当你看到一个函数和它的导数同时出现时，换元法就能奏效，而在定积分中改变积分限能省去最后再代回原变量的麻烦。雅可比行列式是 $du/dx$ 在多维情形下的类比，衡量坐标变换下面积（或体积）的缩放比例，在概率论（随机变量的换元）和微分几何中都不可或缺。