Sustitución en U
La sustitución en u es una técnica de integración que simplifica una integral compleja reemplazando una expresión interna con la variable u.
Formula
\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \, u=g(x)
Definition
La sustitución en u es un truco de integración donde renombras una pieza interna complicada de la función como "$u$" para simplificar la integral, la versión de integración de la regla de la cadena. Sea $u = g(x)$, así que $du = g'(x)\, dx$; esto transforma $\int f(g(x))g'(x)\, dx$ en $\int f(u)\, du$, y para integrales definidas también cambias los límites: si $u = g(x)$, los nuevos límites se convierten en $g(a)$ y $g(b)$. Formalizado como el teorema de cambio de variable, esto se generaliza en varias dimensiones a la fórmula del cambio de variable con el Jacobiano.
Example
Para integrar $\int 2x (x^2 + 1)^5\, dx$, sea $u = x^2 + 1$, así que $du = 2x\, dx$; la integral se convierte en $\int u^5\, du = u^6/6 + C = (x^2+1)^6/6 + C$. Para $\int_0^1 x e^{x^2}\, dx$: sea $u = x^2$, $du = 2x\, dx$, y los límites se convierten en $u(0)=0$, $u(1)=1$, dando $(1/2)\int_0^1 e^u\, du = (1/2)(e - 1)$. En cálculo multivariable, convertir una integral doble sobre un disco a coordenadas polares usa el Jacobiano $|J| = r$: $\iint f(x,y)\, dA = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr\, d\theta$.
Key Insight
La clave es detectar una expresión cuya derivada también aparece en la integral; cuando ves una función y su derivada juntas, la sustitución en u funcionará, y cambiar los límites en una integral definida te ahorra tener que sustituir de vuelta al final. El determinante Jacobiano es el análogo multidimensional de $du/dx$, midiendo cómo se escala el área (o volumen) bajo un cambio de coordenadas, esencial en probabilidad (cambio de variable para variables aleatorias) y geometría diferencial.