三项式
sān xiàng shì
三项式是恰好含有三个不同类项、由加号或减号连接的多项式。
Formula
ax^2 + bx + c
Definition
三项式是恰好由三个不同类项组成的多项式（"tri" 意为三），标准二次三项式 $ax^2 + bx + c$ 是代数 I 中最常见的形式。它由两个二项式相乘得到，$(x + p)(x + q) = x^2 + (p+q)x + pq$，所以中间项系数为 $p+q$，常数项为 $pq$，这使得大多数三项式因式分解问题成为一种"反向 FOIL"。二次三项式在 $\mathbb{R}$ 上可因式分解，当且仅当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于或等于 $0$；若等于 $0$，该三项式是完全平方式，若为负，该三项式在 $\mathbb{R}$ 上不可约，但在 $\mathbb{C}$ 上可因式分解为 $a(x - r_1)(x - r_2)$，其中 $r_1, r_2$ 为根。
Example
$x^2 + 5x + 6$、$3y^2 - 2y + 1$ 和 $a^2 + ab + b^2$ 都是三项式。由于 $2 \cdot 3 = 6$ 且 $2 + 3 = 5$，所以 $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$。对 $2x^2 + 5x + 3$ 而言，判别式为 $25 - 24 = 1$，得到根 $x = (-5 \pm 1)/4 = -1$ 或 $-3/2$，所以它因式分解为 $(x+1)(2x+3)$。
Key Insight
"tri" 意为三，就像三角形有三条边一样。判别式对 $\mathbb{Q}$ 上可因式分解性的检验，不仅要求 $b^2 - 4ac \ge 0$，还要求它（当 $a$、$b$、$c$ 为整数时）是一个完全平方数；否则根是无理数，该三项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可因式分解，尽管它在 $\mathbb{R}$ 上仍可因式分解。