Trinomio
Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos distintos conectados por suma o resta.
Formula
ax^2 + bx + c
Definition
Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos distintos ("tri" significa tres), y el trinomio cuadrático estándar $ax^2 + bx + c$ es la forma más común que se encuentra en Álgebra I. Resulta de multiplicar dos binomios, $(x + p)(x + q) = x^2 + (p+q)x + pq$, así que el coeficiente medio es $p+q$ y la constante es $pq$, haciendo que la mayoría de los problemas de factorización de trinomios sean una especie de FOIL inverso. Un trinomio cuadrático se factoriza sobre $\mathbb{R}$ si y solo si el discriminante $b^2 - 4ac$ es mayor o igual que $0$; si es igual a $0$ el trinomio es un cuadrado perfecto, y si es negativo el trinomio es irreducible sobre $\mathbb{R}$ pero se factoriza sobre $\mathbb{C}$, con forma factorizada $a(x - r_1)(x - r_2)$ para las raíces $r_1, r_2$.
Example
$x^2 + 5x + 6$, $3y^2 - 2y + 1$, y $a^2 + ab + b^2$ son trinomios. Ya que $2 \cdot 3 = 6$ y $2 + 3 = 5$, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. Para $2x^2 + 5x + 3$, el discriminante es $25 - 24 = 1$, dando raíces $x = (-5 \pm 1)/4 = -1$ o $-3/2$, así que se factoriza como $(x+1)(2x+3)$.
Key Insight
"Tri" significa tres, como los tres lados de un triángulo. La prueba del discriminante para la factorizabilidad sobre $\mathbb{Q}$ requiere no solo que $b^2 - 4ac \ge 0$ sino también que sea un cuadrado perfecto (cuando $a$, $b$, $c$ son enteros); de lo contrario las raíces son irracionales y el trinomio no se factoriza sobre $\mathbb{Q}$, aunque sí se factoriza sobre $\mathbb{R}$.