三角恒等式
sān jiǎo héng děng shì
三角恒等式是涉及三角函数的等式，对变量所有有效取值都成立。
Definition
三角恒等式是涉及正弦、余弦或正切的等式，对使两边都有定义的所有变量值都成立。主要类别包括勾股恒等式、倒数恒等式、商恒等式和余函数恒等式（例如 $\sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta)$）。它们源自通过欧拉公式 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ 所体现的指数函数性质；和角公式 $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ 由 $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$ 得出，这使复数乘法成为一切和角恒等式的生成机制。
Example
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ 是一个三角恒等式；代入 $30^\circ$ 得到 $(0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1$，恒成立。要证明 $\tan(\theta)\cos(\theta) = \sin(\theta)$：左边 $= (\sin/\cos)\cos = \sin$，所以只要 $\cos(\theta) \neq 0$，两边就相等。二倍角恒等式 $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ 由 $e^{2ix} = (\cos(x) + i\sin(x))^2$ 取实部得出。
Key Insight
恒等式是一种捷径：与其从头做复杂的三角计算，不如用一个相等的表达式替换另一个来简化工作，它们被用来简化积分、求解三角方程和变换表达式。每个三角恒等式都可以仅从两个事实推导出来：欧拉公式和性质 $e^{a+b} = e^a e^b$，这把整个三角恒等式代数简化为复指数算术。