Identidad Trigonométrica
Una identidad trigonométrica es una ecuación que involucra funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores válidos de la variable.
Definition
Una identidad trigonométrica es una ecuación que involucra seno, coseno o tangente y que se cumple para todos los valores de la variable para los cuales ambos lados están definidos. Las categorías principales incluyen identidades pitagóricas, identidades recíprocas, identidades de cociente e identidades de cofunción (como $\sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta)$). Surgen de las propiedades de la función exponencial mediante la fórmula de Euler, $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$; la fórmula de suma $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ se deriva de $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$, haciendo de la multiplicación compleja el mecanismo generador de todas las identidades de adición de ángulos.
Example
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ es una identidad trigonométrica; sustituyendo $30^\circ$ se obtiene $(0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1$, siempre verdadero. Para demostrar $\tan(\theta)\cos(\theta) = \sin(\theta)$: el lado izquierdo $= (\sin/\cos)\cos = \sin$, así que ambos lados coinciden donde $\cos(\theta) \neq 0$. La identidad de ángulo doble $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ se deriva de $e^{2ix} = (\cos(x) + i\sin(x))^2$, tomando la parte real.
Key Insight
Las identidades son atajos: en lugar de hacer cálculos trigonométricos complicados desde cero, puedes sustituir una expresión por otra igual para simplificar tu trabajo, y se usan para simplificar integrales, resolver ecuaciones trigonométricas y transformar expresiones. Cada identidad trigonométrica puede derivarse de solo dos hechos, la fórmula de Euler y la propiedad $e^{a+b} = e^a e^b$, reduciendo toda el álgebra de las identidades trigonométricas a la aritmética de exponenciales complejas.