三棱柱
sān léng zhù
三棱柱是一种有两个平行三角形底面和三个矩形侧面的三维立体图形。
Formula
V = \left(\frac{1}{2} \times b \times h_{\triangle}\right) \times \text{length}
Definition
三棱柱有两个三角形平行底面和三个矩形侧面；从末端看过去是一个三角形，就像经典的帐篷形状。体积 $V = A_{\triangle} \times l$，其中 $A_{\triangle}$ 是三角形底面的面积，$l$ 是棱柱的长度；表面积 $= 2A_{\triangle} + (\text{perimeter of triangle}) \times l$。它有 $5$ 个面（$2$ 个三角形 $+$ $3$ 个矩形）、$9$ 条棱、$6$ 个顶点，满足欧拉公式 $F + V - E = 2$：$5 + 6 - 9 = 2$。作为多面体，它是三角形 $T$ 与一条线段的笛卡尔积；其对偶多面体是三角双锥（两个共用一个面的四面体）。
Example
一个三棱柱形的坡道，三角形底边 $6$ m、高 $4$ m，长 $10$ m，体积为 $(1/2 \times 6 \times 4) \times 10 = 12 \times 10 = 120$ m$^3$。一个直角边为 $3$ cm 和 $4$ cm（斜边 $5$ cm）的直角三角形底面，棱柱长 $12$ cm，给出 $V = (1/2)(3)(4)(12) = 72$ cm$^3$，$SA = 2(6) + (3+4+5)(12) = 12 + 144 = 156$ cm$^2$。正方体可以分成 $3$ 个全等的三棱柱（或 $5$ 或 $6$ 个四面体），说明了对棱柱重复二等分是如何产生棱锥的。
Key Insight
三棱柱恒可以切成三个体积相等的棱锥，这是棱锥体积公式 $(1/3 \times \text{base} \times \text{height})$ 恰好是棱柱体积三分之一的一个直观证明。在晶体学中，三方棱柱是一种有 $6$ 个面的晶体形态，六棱柱（两个三棱柱叠加）则是蜂巢单元的形状，在给定体积下使材料最少，是一个天然的堆积优化解。