梯形
tī xíng
梯形是恰好有一对平行边(称为底边)的四边形。
Formula
\text{Area} = (1/2)(b_1 + b_2) \times \text{height}
Definition
梯形是一个四边形，恰好有一对平行边，称为底边(一条较长，一条较短)，另外两条边称为腰。面积 $=(1/2)(b_1+b_2)\times$ 高，中位线(连接两腰中点的线段)长度为 $(b_1+b_2)/2$ 且与两底平行；每条腰与两条平行底边之间的同旁内角互补。任何梯形都仿射等价于一个直角梯形，其面积公式可以通过将其分解为一个矩形和两个三角形来推导。
Example
水桶、谷仓横截面，或秋千平台的形状都是梯形；如果一条底边是 $10$ 厘米，另一条是 $6$ 厘米，高是 $4$ 厘米，面积就是 $(10+6)/2\times4=32$ 平方厘米。底边为 $12$ 和 $8$，高为 $5$：面积 $=(1/2)(20)(5)=50$，中位线 $=10$，如果一个底角是 $70^\circ$，同一条腰上的同旁内角就是 $110^\circ$。对于顶点 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(6,4)$、$D(2,4)$：底边 $AB=8$，$DC=4$，高 $4$，面积为 $(1/2)(8+4)(4)=24$，用鞋带公式验证一致。
Key Insight
面积公式将两条底边取平均后再乘以高，因为梯形正好"夹在"两个矩形之间，每个矩形以一条底边为边。中位线是两条底边的平均值，这与三角形的中位线定理(中位线等于底边的一半)相联系，因为三角形是梯形的退化情形，其中一条底边缩小为零；同样的公式也是数值积分中梯形法则的基础，在那里"底边"变成了函数值，"高"变成了区间宽度，将初等几何与微积分联系了起来。