平移
píng yí
平移是把图形上的每一点沿相同方向移动相同距离，不进行旋转或翻转。
Formula
(x, y) \to (x + a, y + b)
Definition
平移把一个图形从一个位置滑动到另一个位置，既不旋转也不翻转：每一点都沿相同方向移动相同距离，所以图形看起来完全一样，只是位置变了。按向量 $(a, b)$ 平移会把每个点 $(x, y)$ 映射到 $(x + a, y + b)$；它是一个等距变换（保持所有距离和角度不变），像与原像全等，平移没有不动点，这与旋转（固定中心点）或反射（固定镜像线）不同。严格地说，对于 $v \in \mathbb{R}^n$，平移 $T_v(x) = x + v$ 是线性部分为恒等映射的仿射映射；所有平移构成的群同构于 $(\mathbb{R}^n, +)$，是欧几里得群 $E(n)$ 的一个正规子群，商群 $E(n)/T$ 同构于正交群 $O(n)$。
Example
把一个三角形向右移动 $4$ 格、向上移动 $3$ 格：顶点 $(1, 2)$ 移动到 $(5, 5)$，三角形的大小和形状都不变。一个顶点为 $(1,1)$、$(4,1)$、$(4,3)$、$(1,3)$ 的矩形按 $(-2, 4)$ 平移，新顶点为 $(-1,5)$、$(2,5)$、$(2,7)$、$(-1,7)$，边长和角度都不变。在物理学中，物理定律在空间平移下的不变性，根据诺特定理，等价于动量守恒。
Key Insight
平移绝不会改变图形所朝的方向，就像在桌面上滑动一张纸而不把它举起或旋转。平移构成一个阿贝尔（可交换）群：先按 $(a,b)$ 再按 $(c,d)$ 平移，与颠倒顺序得到的结果相同，这种可交换性把平移与旋转（顺序会影响结果）区分开来。诺特定理把每一种连续对称性都与一条守恒定律联系起来，平移对称性给出动量守恒，时间平移对称性给出能量守恒，旋转对称性给出角动量守恒，这使几何学的对称群成为物理学中一切守恒定律的基础。