Traslación
Una traslación desliza cada punto de una figura la misma distancia y en la misma dirección, sin rotarla ni reflejarla.
Formula
(x, y) \to (x + a, y + b)
Definition
Una traslación desliza una figura de un lugar a otro sin girarla ni voltearla: cada punto se mueve la misma distancia en la misma dirección, así que la figura se ve exactamente igual, solo en una nueva ubicación. Una traslación por el vector $(a, b)$ transforma cada punto $(x, y)$ en $(x + a, y + b)$; es una isometría (preserva todas las distancias y ángulos), la imagen es congruente con la preimagen, y las traslaciones no tienen puntos fijos, a diferencia de las rotaciones (que fijan el centro) o las reflexiones (que fijan la línea del espejo). Formalmente, una traslación $T_v(x) = x + v$ para $v \in \mathbb{R}^n$ es una aplicación afín con parte lineal igual a la identidad; el grupo de todas las traslaciones es isomorfo a $(\mathbb{R}^n, +)$ y es un subgrupo normal del grupo euclidiano $E(n)$, con el cociente $E(n)/T$ isomorfo al grupo ortogonal $O(n)$.
Example
Mover un triángulo $4$ espacios a la derecha y $3$ hacia arriba: un vértice en $(1, 2)$ se mueve a $(5, 5)$, y el tamaño y la forma del triángulo no cambian. Un rectángulo con vértices $(1,1)$, $(4,1)$, $(4,3)$, $(1,3)$ trasladado por $(-2, 4)$ tiene nuevos vértices $(-1,5)$, $(2,5)$, $(2,7)$, $(-1,7)$, con longitudes de lados y ángulos sin cambios. En física, la invariancia de las leyes bajo la traslación espacial es equivalente, por el teorema de Noether, a la conservación del momento lineal.
Key Insight
Una traslación nunca cambia la dirección hacia la que mira la figura, como deslizar una hoja de papel sobre una mesa sin levantarla ni girarla. Las traslaciones forman un grupo abeliano (conmutativo): trasladar por $(a,b)$ y luego por $(c,d)$ da el mismo resultado que en el orden inverso, una conmutatividad que distingue a las traslaciones de las rotaciones, donde el orden sí importa. El teorema de Noether conecta cada simetría continua con una ley de conservación, la simetría de traslación da la conservación del momento, la simetría de traslación temporal da la conservación de la energía, y la simetría rotacional da la conservación del momento angular, convirtiendo a los grupos de simetría de la geometría en el fundamento de todas las leyes de conservación en física.