理论概率
lǐ lùn gài lǜ
理论概率是在进行任何实验之前，通过数学推理计算出的某事件的预期概率。
Formula
\text{P(event)} = \dfrac{\text{favorable outcomes}}{\text{total equally likely outcomes}}
Definition
理论概率是基于数学和逻辑，在不实际进行实验的情况下你所预期发生的结果，假设所有结果都是等可能的。它使用有利结果数与等可能总结果数之比，$P(A) = |A|/|S|$，其中 $|A|$ 是事件 $A$ 中的结果数，$|S|$ 是样本空间中的结果总数，基于数学推理而非数据收集。形式上，理论概率是在不参考观测数据的情况下、从概率模型推导得出的：对于有限等可能结果，它是经典（拉普拉斯）定义，$P(A) = |A|/|\Omega|$，对于连续分布，它由假定的概率密度函数推导而来，通常由对称性、最大熵或物理推理所激发。
Example
在抛掷一枚均匀硬币之前，你就已经从理论上知道 $P(\text{heads}) = 1/2$，因为在 $2$ 个等可能的结果中有 $1$ 个是正面。掷一个均匀骰子，$P(\text{prime number}) = P(\{2,3,5\}) = 3/6 = 1/2$，这是从骰子的结构推理得出的，而不是通过反复投掷得到的。从 $[0,1]$ 中随机选取的实数是无理数的概率为 $1$，这是由勒贝格测度论证得出的，因为有理数构成一个测度为 $0$ 的可数集合，这是一个纯理论的结果，说明理论概率可以得出反直觉但在数学上严谨的结论。
Key Insight
理论概率是你在实验之前做出的预测，而实验概率是你实际运行实验时发生的情况；理论概率假设一个完美的理想化模型（完全公平的硬币或骰子），而真实的物体可能会有轻微偏差，这就是为什么实验概率有时会与之不同。模型设定是理论概率中的关键挑战：所选模型（均匀分布、正态分布、泊松分布等）内嵌了关于数据生成过程的假设，模型设定错误会得出不正确的理论概率，这就是为什么将模型与实验数据进行核对至关重要。