定理
dìng lǐ
定理是一个已从公理和先前已确立的结论出发,被严格证明为真的数学命题。
Definition
定理是已被证明为确定、始终成立的数学事实；它不是猜测，而是被仔细证明是从已被接受的规则中推导出来的。更准确地说，定理是从公理和先前已证明的定理（引理）经逻辑推导得出的命题，证明就是展示这一推导过程的论证；较次要的定理称为引理，直接推论称为推论。在形式逻辑中，定理是可以用推理规则从一个形式系统的公理推导出来的公式；根据哥德尔完备性定理，一个命题是一阶逻辑的定理当且仅当它在所有模型中都为真，而哥德尔不完备性定理表明，足够强大的系统中含有既真实又无法被证明为定理的命题。
Example
勾股定理，直角三角形的 $a^2 + b^2 = c^2$，不只是"通常成立"，它永远成立，并已被以数百种不同的方式证明过。欧几里得证明了素数有无穷多个：假设只有有限个 $p_1, \ldots, p_n$，考虑 $N = p_1 \times \ldots \times p_n + 1$，它有一个不在列表上的素因子，产生矛盾。哥德尔构造了一个算术中的语句 $G$，断言自身不可证明：$G$ 在标准模型中为真，但无法从皮亚诺公理推导出来，是一个无法成为定理的定理。
Key Insight
定理是数学中的永久建筑：一旦被证明，就永远不需要重新检查是否有例外，但一个定理的可靠程度取决于它的证明，而历史上有些被认为正确了几个世纪的命题最终被证明是错误的。不完备性表明了公理化方法的局限：没有任何一致的形式系统能证明所有数学真理，使"真"与"可证明"之间的差距成为数学永久的特征。