Teorema
Un teorema es un enunciado matemático que se ha demostrado rigurosamente verdadero a partir de axiomas y resultados previamente establecidos.
Definition
Un teorema es un hecho matemático que se ha demostrado que es definitiva y siempre verdadero; no es una conjetura, se ha mostrado cuidadosamente que se deduce de reglas ya aceptadas. Más precisamente, un teorema es un enunciado deducido lógicamente a partir de axiomas y teoremas previamente demostrados (lemas), con una demostración como el argumento que muestra esta deducción; los teoremas menores se llaman lemas, y las consecuencias directas son corolarios. En lógica formal, un teorema es una fórmula deducible a partir de los axiomas de un sistema formal usando las reglas de inferencia; por el Teorema de Completitud de Godel, un enunciado es un teorema de la lógica de primer orden si y solo si es verdadero en todos los modelos, mientras que el Teorema de Incompletitud de Godel muestra que los sistemas suficientemente potentes contienen enunciados verdaderos que no son teoremas.
Example
El Teorema de Pitágoras, $a^2 + b^2 = c^2$ para triángulos rectángulos, no es solo "usualmente verdadero," es siempre verdadero y se ha demostrado de cientos de formas distintas. Euclides demostró que hay infinitos números primos suponiendo que hay finitos, $p_1, \ldots, p_n$, y considerando $N = p_1 \times \ldots \times p_n + 1$, el cual tiene un factor primo que no está en la lista, una contradicción. Godel construyó un enunciado $G$ en aritmética que afirma su propia indemostrabilidad: $G$ es verdadero en el modelo estándar pero no demostrable a partir de los axiomas de Peano, un teorema que no puede ser un teorema.
Key Insight
Los teoremas son los edificios permanentes de las matemáticas; una vez demostrados, nunca necesitan revisarse de nuevo por excepciones, pero un teorema es tan fuerte como su demostración, y la historia incluye enunciados creídos verdaderos durante siglos que resultaron ser falsos. La Incompletitud muestra los límites del método axiomático: ningún sistema formal consistente puede demostrar todas las verdades matemáticas, haciendo que la brecha entre "verdadero" y "demostrable" sea un rasgo permanente de las matemáticas.