有限小数
yǒu xiàn xiǎo shù
有限小数是在有限位数字后就结束的小数，例如0.25或3.125。
Definition
有限小数是在若干位数字后就停止，而不是永远延续下去的小数：例如$0.5$、$0.25$、$3.75$、$0.125$。最简形式的分数$a/b$能产生有限小数当且仅当$b$除了$2$和$5$以外没有其他质因数，也就是$b = 2^m \cdot 5^n$（$m, n$为非负整数），此时小数在$\max(m, n)$位后终止，因为$10 = 2 \times 5$意味着$b$总能整除$10$的某个幂。更一般地，最简形式的有理数$p/q$在$b$进制下终止当且仅当$q$的每个质因数都能整除$b$；在$2$进制（二进制）中，只有分母是$2$的幂的分数才能终止，这正是为什么$10$进制中的$0.1$（$=1/10$）无法在二进制中精确表示的原因。
Example
$1/2 = 0.5$（$1$位后终止）、$1/4 = 0.25$（$2$位后终止）、$1/8 = 0.125$（$3$位后终止）都是有限小数。检验$7/40$：由于$40 = 2^3 \times 5$，它在$\max(3,1) = 3$位后终止，$7/40 = 175/1000 = 0.175$；但$1/6$的$6 = 2 \times 3$，质因数$3$的存在意味着它会循环，$0.1666\ldots = 0.1\overline{6}$。所用的进制也很重要：在$12$进制（十二进制，$12 = 2^2 \times 3$）中，$1/3 = 0.4$能终止，而$1/5$则会循环，与$10$进制（十进制）中发生的情况恰恰相反。
Key Insight
能够终止的分数，其（最简形式下的）分母只含有质因数$2$和$5$，由于我们的十进制系统是由$2 \times 5$构建的，只有这两个质因数能"完美嵌入"十进制；要预判一个分数是否终止，你只需检验化简后的分母，这比实际做长除法能提供更多信息。这种终止条件揭示了算术与数字进制结构之间的一种深刻联系：对日常算术而言，"更好"的进制可能是$12$进制（能被$2, 3, 4, 6$整除），因为更多常见的分数会终止，这是十二进制（$12$进制）算术支持者提出的一个历史性论点。