Decimal Finito
Un decimal finito es un decimal que termina después de una cantidad finita de dígitos, como 0.25 o 3.125.
Definition
Un decimal finito es un decimal que se detiene después de cierta cantidad de dígitos en lugar de continuar para siempre: ejemplos incluyen $0.5$, $0.25$, $3.75$, $0.125$. Una fracción $a/b$ en mínima expresión produce un decimal finito si y solo si $b$ no tiene otros factores primos más que $2$ y $5$, es decir, $b = 2^m \cdot 5^n$ para algunos enteros no negativos $m, n$, en cuyo caso el decimal termina después de $\max(m, n)$ dígitos, ya que $10 = 2 \times 5$ significa que $b$ siempre divide alguna potencia de $10$. De manera más general, un racional $p/q$ en mínima expresión termina en base $b$ si y solo si todo factor primo de $q$ también divide a $b$; en base $2$ (binario), solo las fracciones con denominadores que son potencias de $2$ terminan, razón por la cual $0.1$ en base $10$ ($=1/10$) no puede representarse exactamente en binario.
Example
$1/2 = 0.5$ (termina después de $1$ dígito), $1/4 = 0.25$ (termina después de $2$ dígitos), y $1/8 = 0.125$ (termina después de $3$ dígitos) son todos decimales finitos. Al comprobar $7/40$: como $40 = 2^3 \times 5$, termina después de $\max(3,1) = 3$ dígitos, $7/40 = 175/1000 = 0.175$; pero $1/6$ tiene $6 = 2 \times 3$, y el factor de $3$ hace que se repita en cambio, $0.1666\ldots = 0.1\overline{6}$. La elección de la base también importa: en base $12$ (duodecimal, donde $12 = 2^2 \times 3$), $1/3 = 0.4$ termina, mientras que $1/5$ se repite, lo opuesto de lo que ocurre en base $10$.
Key Insight
Las fracciones que terminan siempre tienen denominadores (en mínima expresión) cuyos únicos factores primos son $2$ y $5$, ya que nuestro sistema de base diez está construido a partir de $2 \times 5$, solo estos factores "encajan perfectamente" en base diez; para predecir si una fracción termina, solo necesitas revisar el denominador después de simplificar, lo cual te dice más que hacer la división larga real. Esta condición de terminación revela una conexión profunda entre la aritmética y la estructura de una base numérica: una base "mejor" para la aritmética cotidiana podría ser la base $12$ (divisible entre $2, 3, 4, 6$) porque muchas más fracciones comunes terminarían, un argumento histórico defendido por los partidarios de la aritmética docenal (base $12$).