终边
zhōng biān
标准位置角的终边是从始边旋转而来、最终停在角的终止位置的射线。
Definition
终边是一个角中会移动的那条射线，它是从始边（正 $x$ 轴）旋转而来、从而形成这个角的那条射线。它的位置决定了所有三角函数的值：角 $\theta$ 的终边与单位圆相交于 $(\cos(\theta), \sin(\theta))$，即从原点穿过该点的射线。随着 $\theta$ 变化，终边参数化了 $S^1$ 上的点，共享同一终边的同终边角反映了映射 $\theta \to e^{i\theta}$（从 $\mathbb{R}$ 到 $S^1$）的 $2\pi$ 周期性。
Example
对于 $90^\circ$ 角，终边正沿着正 $y$ 轴方向向上；对于 $180^\circ$，终边沿负 $x$ 轴方向指向左侧。$225^\circ$ 角的终边落在第三象限，与单位圆相交于 $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$，印证了 $\cos(225^\circ) = \sin(225^\circ) = -\sqrt{2}/2$；$7\pi/4$ 的终边经过第四象限的 $(\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$，这与 $-\pi/4$ 和 $15\pi/4$ 同终边。
Key Insight
"终边"（terminal）意为终点，即旋转停止的地方，两个不同的角可以共享同一条终边（同终边角），这就是为什么对任意 $\theta$ 都有 $\sin(\theta) = \sin(\theta + 2\pi)$。终边是角对模 $2\pi$ 等价类的几何实现：如果两个角之差是 $2\pi$ 的整数倍，则它们等价，终边正代表了单位圆上每个等价类中唯一的那个元素。