Lado Terminal
El lado terminal de un ángulo en posición estándar es el rayo giratorio que termina en la posición final del ángulo tras la rotación desde el lado inicial.
Definition
El lado terminal es el rayo móvil de un ángulo, aquel al que rotas desde el lado inicial (eje $x$ positivo) para crear el ángulo. Su posición determina los valores de todas las funciones trigonométricas: el lado terminal de $\theta$ interseca el círculo unitario en $(\cos(\theta), \sin(\theta))$, el rayo desde el origen a través de ese punto. Conforme $\theta$ varía, el lado terminal parametriza puntos sobre $S^1$, y los ángulos coterminales que comparten un lado terminal reflejan la periodicidad de $2\pi$ del mapa $\theta \to e^{i\theta}$ de $\mathbb{R}$ a $S^1$.
Example
Para un ángulo de $90^\circ$, el lado terminal apunta directamente hacia arriba a lo largo del eje $y$ positivo; para $180^\circ$, apunta hacia la izquierda a lo largo del eje $x$ negativo. El lado terminal de $225^\circ$ se encuentra en el cuadrante III, intersecando el círculo unitario en $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$, confirmando que $\cos(225^\circ) = \sin(225^\circ) = -\sqrt{2}/2$; el lado terminal de $7\pi/4$ pasa por $(\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ en el cuadrante IV, y esto es coterminal con $-\pi/4$ y $15\pi/4$.
Key Insight
"Terminal" significa final, donde se detiene la rotación, y dos ángulos distintos pueden compartir el mismo lado terminal (ángulos coterminales), razón por la cual $\sin(\theta) = \sin(\theta + 2\pi)$ para cualquier $\theta$. El lado terminal es la realización geométrica de la clase de equivalencia de ángulos módulo $2\pi$: dos ángulos son equivalentes si su diferencia es un múltiplo de $2\pi$, y el lado terminal representa el elemento único de cada clase sobre el círculo unitario.