Impuesto
En matemáticas, el impuesto es un porcentaje del precio de compra o del ingreso que se suma o resta de una cantidad base, calculado con conceptos de porcentaje.
Formula
\text{tax amount} = \text{price} \times \text{tax rate}; \quad \text{total} = \text{price} \times (1 + \text{tax rate})
Definition
Un impuesto es una cantidad extra que pagas sobre un precio, calculada como un porcentaje del precio; el impuesto de ventas se agrega al pagar, y se encuentra multiplicando el precio por la tasa del impuesto. Formalmente, el impuesto de ventas $T = Pr$, donde $P$ es el precio antes de impuestos y $r$ la tasa de impuesto como decimal, dando un costo total de $P(1 + r)$; el impuesto sobre la renta a menudo usa una estructura progresiva (por tramos) donde distintas porciones del ingreso se gravan a distintas tasas. Los cálculos de impuestos son aplicaciones de funciones lineales y lineales por tramos: cada tramo aplica una tasa solo al ingreso dentro de ese tramo, y la tasa efectiva de impuesto (impuesto total dividido entre el ingreso total) es un promedio ponderado de las tasas marginales.
Example
Un videojuego de $\$40$ con una tasa de impuesto de ventas del $7\%$ cuesta $\$40 \times 0.07 = \$2.80$ en impuestos, para un total de $\$42.80$, o en un solo paso, $\$40 \times 1.07$. Una chaqueta de $\$250$ con $8.25\%$ de impuesto cuesta $250 \times 0.0825 \approx \$20.63$ en impuestos, para un total de $\$270.63$; calcular hacia atrás desde un total con impuesto incluido requiere dividir entre $(1+r)$, no restar el porcentaje, así que $\$270.63/1.0825 \approx \$250.00$ recupera el precio original. Un sistema de tres tramos que grava $10\%$ sobre los primeros $\$10{,}000$, $20\%$ sobre los siguientes $\$30{,}000$, y $30\%$ por encima de $\$40{,}000$, aplicado a un ingreso de $\$55{,}000$, da un impuesto de $1000 + 6000 + 4500 = \$11{,}500$, una tasa efectiva de casi el $20.9\%$ aunque la tasa marginal sobre el último dólar sea del $30\%$.
Key Insight
El impuesto siempre es un porcentaje del precio, así que para hallar el total rápidamente, suma la tasa de impuesto al $100\%$ y multiplica en un solo paso. Un error común es intentar revertir esto restando el porcentaje de impuesto de un total con impuesto incluido, "el total es $162 con 8% de impuesto, así que el precio original es $162 menos 8%", lo cual es incorrecto; el método correcto divide entre $(1+r)$: $\$162/1.08 = \$150.00$. La distinción entre la tasa marginal de impuesto (la tasa sobre el siguiente dólar) y la tasa efectiva de impuesto (la tasa promedio general) es ampliamente malinterpretada: un aumento de sueldo que empuja el ingreso a un tramo mayor no somete todo el ingreso a la tasa mayor, solo el ingreso dentro de ese nuevo tramo, una aplicación clásica de funciones lineales por tramos con consecuencias reales en política pública.