正切
zhèng qiē
正切是一个三角函数，定义为直角三角形中对边与邻边的比值。
Formula
\tan(\theta) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
Definition
正切（记作 tan）比较的是直角三角形的高与宽的比值：$\tan(\theta) = \text{opposite}/\text{adjacent} = \sin(\theta)/\cos(\theta)$。当 $\cos(\theta) = 0$ 时（在 $90^\circ$ 和 $270^\circ$ 处）它无定义，并且与正弦、余弦不同，它可以取任意实数值。它的周期为 $\pi$（而不是 $2\pi$），在那些被排除的值处有竖直渐近线，幂级数为 $\tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + \ldots$，当 $|x| < \pi/2$ 时成立。
Example
如果一棵树投下 $10$ 英尺长的影子，太阳与地面成 $40^\circ$ 角，$\tan(40^\circ) \approx 0.839$，所以树高 $= 10 \times 0.839 \approx 8.4$ 英尺。$\tan(45^\circ) = 1$，因为此时对边与邻边相等，而 $\tan(89^\circ) \approx 57.3$ 显示了正切在接近 $90^\circ$ 时增长得多么陡峭。导数 $d/dx[\tan(x)] = \sec^2(x)$ 始终 $\ge 1$，这解释了为什么正切在每一支上都严格递增，它的积分是 $-\ln|\cos(x)| + C$。
Key Insight
正切告诉你这个角的"斜率"，等于标准位置中该角终边的斜率，$\text{rise}/\text{run} = \text{opposite}/\text{adjacent}$，直接把三角学与坐标几何联系起来。在射影几何中，正切自然地参数化了射影直线，因为它把 $(-\pi/2, \pi/2)$ 双射地映射到 $\mathbb{R}$，这使它在透视变换和凯莱-克莱因度量中处于核心地位。