Tangente (Trig)
La tangente es una función trigonométrica definida como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo.
Formula
\tan(\theta) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
Definition
La tangente (escrita "tan") compara qué tan alto es un triángulo rectángulo con respecto a qué tan ancho es: $\tan(\theta) = \text{opposite}/\text{adjacent} = \sin(\theta)/\cos(\theta)$. No está definida cuando $\cos(\theta) = 0$ (en $90^\circ$ y $270^\circ$) y, a diferencia del seno y el coseno, puede tomar cualquier valor real. Tiene periodo $\pi$ (no $2\pi$), asíntotas verticales en esos valores excluidos, y la serie de potencias $\tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + \ldots$ para $|x| < \pi/2$.
Example
Si un árbol proyecta una sombra de $10$ pies y el sol forma un ángulo de $40^\circ$, $\tan(40^\circ) \approx 0.839$, así que la altura del árbol $= 10 \times 0.839 \approx 8.4$ pies. $\tan(45^\circ) = 1$ porque el cateto opuesto y el adyacente son iguales ahí, mientras que $\tan(89^\circ) \approx 57.3$ muestra qué tan abruptamente crece la tangente cerca de $90^\circ$. La derivada $d/dx[\tan(x)] = \sec^2(x)$ siempre es $\ge 1$, lo que explica por qué la tangente es estrictamente creciente en cada rama, y su integral es $-\ln|\cos(x)| + C$.
Key Insight
La tangente indica la "pendiente" del ángulo, igual a la pendiente del lado terminal del ángulo en posición estándar, $\text{rise}/\text{run} = \text{opposite}/\text{adjacent}$, conectando directamente la trigonometría con la geometría de coordenadas. En la geometría proyectiva, la tangente parametriza naturalmente la línea proyectiva, ya que aplica $(-\pi/2, \pi/2)$ de manera biyectiva sobre $\mathbb{R}$, haciéndola central en las transformaciones de perspectiva y las métricas de Cayley-Klein.