圆的切线
yuán de qiè xiàn
圆的切线是恰好在一点(切点)接触圆、并在该点垂直于半径的直线。
Formula
\text{tangent length from external point } P: t = \sqrt{d^2 - r^2}
Definition
圆的切线是恰好在一点(切点)接触圆而不穿过它的直线；它总是垂直于连接该点的半径。从距圆心 $d$ 的外部一点 $P$ 出发，切线长度为 $t=\sqrt{d^2-r^2}$，从同一外部点引出的两条切线长度总是相等，这一事实被用来证明一个圆可以内切于一个三角形。严格来说，点 $T$ 处的切线是通过 $T$ 的割线在第二个交点趋近于 $T$ 时的极限；对于单位圆，在 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 处的切线方程为 $x\cos\theta+y\sin\theta=1$。
Example
静止在地板上的球在一点上与地板相切；"切线"(tangent)一词源自拉丁语 "tangere"，意为"接触"。对于距圆心 $O$ 为 $13$ 的外部点 $P$，半径为 $5$：切线长度 $=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，与 $PO$ 构成一个 $5$-$12$-$13$ 直角三角形。对于圆 $x^2+y^2=25$ 上的点 $(3,4)$：切线方程为 $3x+4y=25$，半径方向为 $(3,4)$，切线方向为 $(-4,3)$，点积为 $-12+12=0$，验证了垂直性。
Key Insight
切线与其半径之间的垂直关系，是解决切线问题和手工构造切线的关键性质。从同一外部点引出的切线长度相等这一性质，使得可以在三角形内作出一个与三边都相切的内切圆，而切线作为割线的极限，正是导数的几何定义(切线的斜率等于该点的 $dy/dx$)，这一联系被莱布尼茨和牛顿都用来推动微积分定义的建立。