Tangente a un Círculo
Una tangente a un círculo es una recta que toca al círculo en exactamente un punto (el punto de tangencia) y es perpendicular al radio en ese punto.
Formula
\text{tangent length from external point } P: t = \sqrt{d^2 - r^2}
Definition
Una tangente a un círculo es una recta que lo toca en exactamente un punto, el punto de tangencia, sin cruzarlo; siempre es perpendicular al radio trazado hacia ese punto. Desde un punto externo $P$ a distancia $d$ del centro, la longitud de la tangente es $t=\sqrt{d^2-r^2}$, y dos tangentes trazadas desde el mismo punto externo siempre son iguales en longitud, un hecho usado para demostrar que se puede inscribir un círculo en un triángulo. Formalmente, la tangente en el punto $T$ es el límite de las rectas secantes que pasan por $T$ conforme el segundo punto de intersección se aproxima a $T$; para el círculo unitario, la tangente en $(\cos\theta,\sin\theta)$ tiene ecuación $x\cos\theta+y\sin\theta=1$.
Example
Una pelota apoyada en el suelo lo toca tangencialmente en un punto; la palabra "tangente" viene del latín "tangere", tocar. Para un punto externo $P$ a distancia $13$ del centro $O$, radio $5$: longitud de la tangente $=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$, formando un triángulo rectángulo $5$-$12$-$13$ con $PO$. Para el círculo $x^2+y^2=25$ en el punto $(3,4)$: ecuación de la tangente $3x+4y=25$, con dirección del radio $(3,4)$ y dirección de la tangente $(-4,3)$ dando un producto punto $-12+12=0$, confirmando la perpendicularidad.
Key Insight
La perpendicularidad entre una tangente y su radio es la propiedad clave usada para resolver problemas de tangentes y construir rectas tangentes a mano. La propiedad de longitudes iguales de tangentes desde un punto externo es lo que permite inscribir un círculo dentro de un triángulo, tangente a los tres lados, y la recta tangente como el límite de rectas secantes es precisamente la definición geométrica de la derivada, la pendiente de la tangente es igual a $dy/dx$ en ese punto, una conexión que tanto Leibniz como Newton usaron para motivar sus definiciones del cálculo.