方程组
fāng chéng zǔ
方程组是一组含有相同变量的两个或更多方程，通过同时求解来找出使所有方程都成立的取值。
Definition
方程组是两个或更多共享相同变量的方程；求解方程组意味着找到能让每个方程同时成立的变量取值。在二元情形下，每个线性方程定义一条直线，方程组的解就是满足所有方程的有序数对 $(x, y)$ 的集合；可以用代入法、消元法或图解法求解，解可能有一个（两线相交）、没有（两线平行）或无穷多个（同一条直线）。更一般地，$n$ 元 $m$ 个方程组成的方程组可以写成 $Ax = b$，根据鲁歇-卡佩利定理，该方程组有解当且仅当 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$；有解时，若 $\text{rank}(A) = n$ 则解唯一，否则存在由 $n - \text{rank}(A)$ 个自由变量参数化的无穷多个解。
Example
方程组 $x + y = 10$ 与 $x - y = 2$ 的解为 $x = 6$，$y = 4$，因为 $6 + 4 = 10$ 且 $6 - 4 = 2$。对于 $2x + y = 7$ 与 $x - y = 2$，两式相加得到 $3x = 9$，所以 $x = 3$，$y = 1$。在 $2 \times 2$ 矩阵方程组中，若 $\det(A)$ 不为零，则存在唯一解 $x = A^{-1}b$；若 $\det(A) = 0$，则要么无解，要么有无穷多个解。
Key Insight
可以把它想象成一桩悬案中的线索：每个方程都是一条线索，而解就是同时符合所有线索的那一个答案。三种解的类型对应三种几何图景：相交的直线、平行的直线、以及重合的直线，方程组是线性代数的基础：从有限元分析到机器学习再到电路仿真，科学与工程中几乎每一种数值算法最终都可以归结为求解大型线性方程组。