Sistema de Ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables, que se resuelven simultáneamente para hallar valores que satisfagan todas las ecuaciones a la vez.
Definition
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables; resolverlo significa encontrar valores para las variables que hagan verdaderas todas las ecuaciones al mismo tiempo. En dos variables, cada ecuación lineal define una línea, y la solución del sistema es el conjunto de pares ordenados $(x, y)$ que satisfacen todas ellas; puede resolverse por sustitución, eliminación, o graficando, y puede tener una solución (líneas que se intersecan), ninguna solución (líneas paralelas), o infinitas soluciones (la misma línea). De manera más general, un sistema de $m$ ecuaciones en $n$ variables puede escribirse como $Ax = b$, y según el teorema de Rouché-Capelli el sistema es consistente si y solo si $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$; cuando es consistente, la solución es única si $\text{rank}(A) = n$, de lo contrario hay infinitas soluciones parametrizadas por $n - \text{rank}(A)$ variables libres.
Example
El sistema $x + y = 10$ y $x - y = 2$ tiene solución $x = 6$, $y = 4$, ya que $6 + 4 = 10$ y $6 - 4 = 2$. Para $2x + y = 7$ y $x - y = 2$, al sumar se obtiene $3x = 9$, así que $x = 3$ y $y = 1$. En un sistema matricial $2 \times 2$, si $\det(A)$ no es cero hay una solución única $x = A^{-1}b$; si $\det(A) = 0$, no hay solución o hay infinitas.
Key Insight
Piensa en dos pistas de un misterio: cada ecuación es una pista, y la solución es la única respuesta que encaja con todas las pistas a la vez. Los tres tipos de solución corresponden a tres imágenes geométricas: líneas que se intersecan, líneas paralelas, y líneas superpuestas, y los sistemas de ecuaciones son el fundamento del álgebra lineal: prácticamente todo algoritmo numérico en ciencia e ingeniería, desde el análisis de elementos finitos hasta el aprendizaje automático y la simulación de circuitos, se reduce en última instancia a resolver grandes sistemas lineales.