和
hé
和是把两个或更多个数相加所得到的结果。
Formula
a + b = \text{sum}
Definition
和是把若干个数加在一起所得到的结果；对于一组数，西格玛记号可以简洁地表示这一点，$\sum_{k=1}^{n} a_k$。在分析学中，无穷级数把这一概念推广为部分和的极限，$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n$，其中 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$；这一极限是否收敛并非显然，需要借助比值判别法、根值判别法、比较判别法或积分判别法等方法来判断，而发散级数有时也可以通过解析延拓被赋予有意义的值。
Example
在 $6 + 4 = 10$ 中，和是 $10$；前 $5$ 个正整数之和 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$，用西格玛记号写作 $\sum_{k=1}^{5} k = 15$。高斯儿时通过配对法求出 $1 + 2 + \ldots + 100 = 5{,}050$：$(1+100) + (2+99) + \ldots = 50$ 对，每对之和都是 $101$，由此得到通用公式 $n(n+1)/2$。几何级数 $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = 1/(1-r)$（当 $|r| < 1$ 时）在 $r = 1/2$ 时给出 $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots = 2$，这正是芝诺悖论的严谨解答。
Key Insight
"和"、"总数"和"一共"描述的都是同一件事：加法运算的结果。黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ 是一个无穷和，蕴含着关于质数分布的深刻信息，将其解析延拓到 $s = -1$ 会得到那个著名的正则化意义下的"和"：$1+2+3+\ldots = -1/12$，这生动地说明了"和"这一概念可以被拓展到远超普通加法的地步。