分数减法
fēn shù jiǎn fǎ
分数减法遵循与加法相同的规则：先找到公分母，再把分子相减。
Formula
\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}; \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}
Definition
要把分数相减，分母必须相同：如果分母相同，把分子相减，分母保持不变；如果不同，像加法一样先求公分母。对于带分数，先转化为假分数，或者当被减的分数部分较大时从整数部分借位。形式上，$\mathbb{Q}$中的减法定义为加上加法逆元：$a/b - c/d = a/b + (-c/d) = (ad-bc)/(bd)$，这确认了$\mathbb{Q}$在加法下是一个阿贝尔群，减法是派生运算而非基本运算。
Example
分母相同时，$5/8 - 2/8 = 3/8$；对于$3/4 - 1/3$，用$12$作公分母：$9/12 - 4/12 = 5/12$。对于带分数，$4$又$1/6 - 2$又$5/6$需要借位，因为$1/6 < 5/6$：把$4$又$1/6$改写为$3$又$7/6$，得$3$又$7/6 - 2$又$5/6 = 1$又$2/6 = 1$又$1/3$。同样的减法公式也可推广到任意分式域$\text{Frac}(R)$：对于$R = \mathbb{Z}[x]$，$(x+1)/(x-2) - 3/(x+1) = ((x+1)^2 - 3(x-2))/((x-2)(x+1)) = (x^2-x+7)/(x^2-x-2)$。
Key Insight
分数的减法和加法遵循完全相同的步骤，唯一的区别是有了公分母之后，减去而不是加上分子。带分数减法中的借位，与整数减法中的借位是一回事：两者都基于"$1$整体等于（分母/分母）"这一思想，所以从整数部分借$1$就相当于给分数部分增加一整个分母的量。这体现了抽象代数中的一个一般原理：在任何群中，减法都不是基本运算，而是加上逆元的一种记号简写，这也说明了为什么减法对学习者来说感觉比加法"更难"：它是一种复合运算。