Resta de Fracciones
Restar fracciones sigue las mismas reglas que sumar: se busca un denominador común y luego se restan los numeradores.
Formula
\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}; \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}
Definition
Para restar fracciones, los denominadores deben ser iguales: si lo son, resta los numeradores y mantén el denominador; si no, busca primero un denominador común, igual que en la suma. Para los números mixtos, convierte primero a fracciones impropias, o pide prestado del número entero cuando la parte fraccionaria que se resta es mayor. Formalmente, la resta en $\mathbb{Q}$ se define como la suma del inverso aditivo: $a/b - c/d = a/b + (-c/d) = (ad-bc)/(bd)$, lo que confirma que $\mathbb{Q}$ es un grupo abeliano bajo la suma, con la resta derivada en lugar de primitiva.
Example
$5/8 - 2/8 = 3/8$ con el mismo denominador; para $3/4 - 1/3$, usa $12$: $9/12 - 4/12 = 5/12$. Para números mixtos, $4$ y $1/6 - 2$ y $5/6$ requiere pedir prestado ya que $1/6 < 5/6$: reescribe $4$ y $1/6$ como $3$ y $7/6$, dando $3$ y $7/6 - 2$ y $5/6 = 1$ y $2/6 = 1$ y $1/3$. La misma fórmula de resta se extiende a cualquier cuerpo de fracciones $\text{Frac}(R)$: para $R = \mathbb{Z}[x]$, $(x+1)/(x-2) - 3/(x+1) = ((x+1)^2 - 3(x-2))/((x-2)(x+1)) = (x^2-x+7)/(x^2-x-2)$.
Key Insight
La resta y la suma de fracciones siguen exactamente el mismo procedimiento, la única diferencia es restar en lugar de sumar los numeradores una vez que tienes un denominador común. Pedir prestado en la resta de números mixtos refleja el préstamo en la resta de números enteros: ambos usan la idea de que $1$ entero equivale a (denominador/denominador), así que pedir prestado $1$ del número entero agrega un denominador completo a la fracción. Esto refleja un principio general en álgebra abstracta, que en todo grupo la resta no es una operación primitiva sino una abreviatura notacional para sumar el inverso, lo cual aclara por qué la resta se siente "más difícil" que la suma para quienes aprenden: es una operación compuesta.