代入法
dài rù fǎ
代入法通过在一个方程中解出某个变量，再把该表达式代入另一个方程，从而解出方程组。
Definition
代入法通过在一个方程中孤立出某个变量（理想情况下系数为 $1$，以避免分数），然后把这个表达式代入另一个方程，把问题化简为只含一个变量的方程，解出后再代回求另一个变量。当某个方程已经解出某个变量时，这种方法尤其实用，在非线性方程组中，它往往是唯一实用的代数方法：代入法是变量消去的一个特例，把方程组化简为单变量多项式，再通过结式或格罗布纳基求出其根。
Example
对于 $y = 2x$ 与 $x + y = 9$，代入得到 $x + 2x = 9$，所以 $x = 3$，$y = 6$。对于 $3x - y = 4$ 与 $2x + 3y = 19$，由第一个方程解出 $y = 3x - 4$，代入第二个方程得到 $11x = 31$，所以 $x = 31/11$，$y = 49/11$。在非线性方程组 $x^2 + y = 5$ 与 $y = x + 1$ 中，代入得到 $x^2 + x - 4 = 0$，解为 $x = (-1 \pm \sqrt{17})/2$。
Key Insight
代入就像替换：一旦知道某个变量等于什么，就把它代入到所有出现的地方，把问题缩减为一个方程。对线性方程组而言，代入法与消元法在计算上是等价的，但代入法真正的威力体现在约束优化中：拉格朗日乘数法通过约束条件解出一个变量并代入目标函数，从而降低问题的维数。