Método de Sustitución
El método de sustitución resuelve un sistema de ecuaciones despejando una variable en una ecuación y sustituyendo esa expresión en la otra ecuación.
Definition
El método de sustitución resuelve un sistema despejando una variable en una ecuación (idealmente una con coeficiente $1$, para evitar fracciones), y luego sustituyendo esa expresión en la otra ecuación para reducir el problema a una sola ecuación en una variable, que se resuelve y se usa para sustituir hacia atrás y hallar la otra variable. Es especialmente útil cuando una ecuación ya está despejada para una variable, y en los sistemas no lineales suele ser el único método algebraico práctico: la sustitución es un caso especial de eliminación de variables que reduce un sistema a un polinomio de una sola variable, cuyas raíces pueden entonces hallarse mediante resultantes o bases de Gröbner.
Example
Para $y = 2x$ y $x + y = 9$, al sustituir se obtiene $x + 2x = 9$, así que $x = 3$ y $y = 6$. Para $3x - y = 4$ y $2x + 3y = 19$, despeja la primera para obtener $y = 3x - 4$, sustituye en la segunda para obtener $11x = 31$, así que $x = 31/11$ y $y = 49/11$. En el sistema no lineal $x^2 + y = 5$ y $y = x + 1$, al sustituir se obtiene $x^2 + x - 4 = 0$, con soluciones $x = (-1 \pm \sqrt{17})/2$.
Key Insight
La sustitución es como un reemplazo: una vez que sabes a qué equivale una variable, la intercambias en todas partes para reducir el problema a una sola ecuación. Para los sistemas lineales, la sustitución y la eliminación son computacionalmente equivalentes, pero el verdadero poder de la sustitución se muestra en la optimización con restricciones, donde el método de los multiplicadores de Lagrange despeja una restricción para una variable y la sustituye en la función objetivo para reducir la dimensión del problema.