代入
dài rù
代数中的代入是指用一个具体的数字或表达式替换变量，以便求值或化简。
Definition
代入是指把一个变量替换掉，换上一个具体的数字或另一个表达式，以便计算或验证答案。代入被用来求表达式的值、验证方程的解，也是解方程组的代入法的基础。严格地说，代数代入是把一个变量映射（同态）作用在表达式上，用某一项替换变量的自由出现；在形式逻辑中，同时用项替换所有自由变量会得到一个基项；在微积分中，换元积分法（u 代换）通过逆用链式法则，把一个积分转化为另一个更易求解的等价积分。
Example
若 $n = 6$，代入 $2n - 4$ 得到 $2(6) - 4 = 12 - 4 = 8$。要检验 $x = 3$ 是否是 $2x + 1 = 7$ 的解，代入 $x = 3$ 得到 $2(3) + 1 = 7$，等式成立。对于换元积分，求 $\int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$ 时，设 $u = x^2 + 1$，$du = 2x\,dx$；积分变为 $\int \sqrt{u}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$。
Key Insight
代入就像用一个人的真名替换他的昵称：句子依然通顺，而且现在指代的是某个具体对象。当你用一个表达式（而不仅仅是一个数）去替换另一个表达式，例如在复杂表达式中令 $u = x^2$，往往能使问题大大简化；这种威力来自一个事实：等价的表达式在经过任何合法的变量代换后依然保持等价，这正是形式化代数运算的基础。