伸缩变换（拉伸与压缩）
shēn suō biàn huàn (lā shēn yǔ yā suō)
伸缩变换通过在竖直或水平方向缩放函数图像,使其变高、变矮、变宽或变窄。
Formula
g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
Definition
拉伸使图像变得更高或更宽；压缩使图像变得更矮或更窄。竖直方向的拉伸/压缩是 $g(x) = a \cdot f(x)$：若 $|a| > 1$ 是竖直拉伸，若 $0 < |a| < 1$ 是竖直压缩；水平方向的拉伸/压缩是 $g(x) = f(b \cdot x)$，其中 $|b| > 1$ 使图像水平压缩，$0 < |b| < 1$ 使图像水平拉伸（水平效果是倒数关系）。这些缩放都是线性变换：按 $a$ 作竖直缩放是与乘法的后复合，$T_a(y) = ay$；按 $b$ 作水平缩放是与伸缩变换的前复合，$f(bx)$；在傅里叶分析中，若 $F(f(t)) = F(w)$，则 $F(f(bt)) = (1/|b|) \cdot F(w/b)$，即尺度定理。
Example
$f(x) = x^2$ 是基本抛物线；$g(x) = 3x^2$ 在竖直方向被拉伸（更高、看起来更窄），而 $h(x) = 0.5x^2$ 在竖直方向被压缩（更扁平）。对于 $f(x) = \sin(x)$：$g(x) = 2\sin(x)$ 使振幅翻倍（竖直拉伸），而 $h(x) = \sin(2x)$ 使频率翻倍、周期减半（水平压缩），这是两种截然不同的变换。傅里叶分析中的尺度定理揭示了一个根本性的权衡：在时间上压缩一个信号（$b > 1$）会使其频率成分展宽，这就是时频不确定性原理，说明为什么时间分辨率和频率分辨率不能同时任意精细。
Key Insight
竖直拉伸系数 $a > 1$ 使所有 $y$ 值放大 $a$ 倍，就像在竖直方向上放大图像，而介于 $0$ 和 $1$ 之间的系数则会压缩图像。在一般形式 $g(x) = a \cdot f(b(x - h)) + k$ 中，$a$ 控制竖直缩放，$b$ 控制水平缩放，水平方向按 $b$ 缩放会以 $1/b$ 的比例压缩（看似违反直觉，但与代换规则一致）。这种时频不确定性正是量子力学中海森堡不确定性原理的基础：位置和动量是一对傅里叶变换，压缩一个域会使另一个域展宽。