Estiramiento y Compresión
Estirar o comprimir una función escala su gráfica vertical u horizontalmente, haciéndola más alta, más corta, más ancha o más angosta.
Formula
g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
Definition
Estirar hace que una gráfica sea más alta o más ancha; comprimir la hace más corta o más angosta. El estiramiento/compresión vertical es $g(x) = a \cdot f(x)$: si $|a| > 1$ es un estiramiento vertical, si $0 < |a| < 1$ una compresión vertical; el estiramiento/compresión horizontal es $g(x) = f(b \cdot x)$, donde $|b| > 1$ comprime horizontalmente y $0 < |b| < 1$ estira horizontalmente (el efecto horizontal es recíproco). Estas escalas son transformaciones lineales: la escala vertical por $a$ es una poscomposición con la multiplicación, $T_a(y) = ay$, y la escala horizontal por $b$ es una precomposición con la dilatación, $f(bx)$; en análisis de Fourier, si $F(f(t)) = F(w)$, entonces $F(f(bt)) = (1/|b|) \cdot F(w/b)$, el teorema de escalamiento.
Example
$f(x) = x^2$ es la parábola madre; $g(x) = 3x^2$ está estirada verticalmente (más alta, de apariencia más angosta) mientras que $h(x) = 0.5x^2$ está comprimida verticalmente (más aplanada). Para $f(x) = \sin(x)$: $g(x) = 2\sin(x)$ duplica la amplitud (estiramiento vertical), mientras que $h(x) = \sin(2x)$ duplica la frecuencia y reduce el período a la mitad (compresión horizontal), dos transformaciones genuinamente distintas. El teorema de escalamiento en análisis de Fourier revela una compensación fundamental: comprimir una señal en el tiempo ($b > 1$) dispersa su contenido de frecuencia, el principio de incertidumbre tiempo-frecuencia, formalizando por qué no se puede tener una resolución arbitrariamente nítida en tiempo y frecuencia simultáneamente.
Key Insight
Un estiramiento vertical con factor $a > 1$ hace que todos los valores de $y$ sean $a$ veces más grandes, como hacer zoom verticalmente en la gráfica, mientras que un factor entre $0$ y $1$ la comprime. En la forma general $g(x) = a \cdot f(b(x - h)) + k$, el factor $a$ controla la escala vertical y $b$ controla la escala horizontal, y la escala horizontal por $b$ comprime por un factor de $1/b$ (contraintuitivo pero consistente con la regla de sustitución). Esta incertidumbre tiempo-frecuencia subyace al principio de incertidumbre de Heisenberg en mecánica cuántica: la posición y el momento son pares de transformada de Fourier, y escalar un dominio comprime el otro.