Estadístico (Valor)
Un estadístico es un valor numérico calculado a partir de una muestra que se usa para estimar un parámetro poblacional.
Definition
Un estadístico es un número calculado a partir de una muestra que resume algo sobre ella, como el promedio o el valor más común, y se usa para estimar o poner a prueba afirmaciones sobre un parámetro poblacional. Los estadísticos comunes incluyen la media muestral ($\bar{x}$), la desviación estándar muestral ($s$) y la proporción muestral ($\hat{p}$). Formalmente, un estadístico $T(X_1, \ldots, X_n)$ es una función medible de las variables aleatorias de la muestra; un estadístico suficiente contiene toda la información de la muestra sobre $\theta$, y el teorema de Rao-Blackwell establece que condicionar un estimador insesgado sobre un estadístico suficiente produce un estimador mejorado (o igual).
Example
Si le preguntas a $20$ amigos cuántas horas duermen, el promedio de esas $20$ respuestas es un estadístico. Un encuestador que entrevista a $1{,}000$ votantes y encuentra que $48\%$ apoya un proyecto de ley está reportando un estadístico muestral ($\hat{p}$) que estima la verdadera proporción poblacional ($p$), el parámetro. Para datos exponenciales, la media muestral $\bar{x}$ es un estadístico suficiente para el parámetro de tasa $\lambda$, y cualquier otro estimador puede mejorarse reemplazándolo por su esperanza condicional dado $\bar{x}$.
Key Insight
Los estadísticos son lo que realmente podemos medir, nuestra ventana hacia la población más amplia que no podemos ver por completo, y son ellos mismos variables aleatorias: cada nueva muestra produce un valor ligeramente distinto, y la distribución de todos los valores posibles de un estadístico se llama su distribución muestral. La reducción de datos mediante estadísticos suficientes es fundamental para la estimación eficiente: no se pierde información sobre $\theta$ al resumir los datos a través de un estadístico suficiente.