标准差
biāo zhǔn chā
标准差衡量数据集中各值相对于均值的分散程度，单位与原始数据相同。
Formula
s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
Definition
标准差是一个数值，告诉你数据值相对于平均值的分散程度：较小的标准差意味着数值聚集在均值附近，较大的标准差意味着它们更分散。样本标准差 $s = \sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2/(n-1)}$ 衡量与均值的平均距离，其分母为 $n-1$（贝塞尔修正），使其成为总体标准差 $\sigma$ 的无偏估计量，以原始测量单位表示。形式上，$s$ 是样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2$ 的平方根；根据中心极限定理，当总体为正态分布时，$(\bar{x}-\mu)/(s/\sqrt{n})$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，从而支持 t 检验和 t 区间，而当数据非正态时，自助法可以为 $\sigma$ 提供无分布假设的置信区间。
Example
A 班分数 $78$、$80$、$82$（均值 $80$）分布较小，而 B 班分数 $50$、$80$、$110$（均值同样是 $80$）尽管均值相同，标准差却大得多。对于数据 $4$、$7$、$13$、$16$，均值为 $10$：离差为 $-6$、$-3$、$3$、$6$，平方离差 $36$、$9$、$9$、$36$ 之和为 $90$，得 $s = \sqrt{90/3} = \sqrt{30}$，约等于 $5.48$。变异系数 $CV = s/\bar{x}$ 将标准差表示为均值的比例，从而支持比较不同尺度数据集之间的变异性，例如不同价位股票的波动性。
Key Insight
标准差就像每个值与均值之间的"典型距离"，告诉你大多数值是聚在一起还是广泛分散；对于钟形分布，经验法则指出约 $68\%$ 的数据落在 $1$ 个标准差以内，$95\%$ 落在 $2$ 个标准差以内，$99.7\%$ 落在 $3$ 个标准差以内。切比雪夫不等式给出了一个不依赖分布形式的下界：对任何方差有限的分布，$P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$，因此无论分布形状如何，至少 $75\%$ 的数据落在 $2\sigma$ 以内，至少 $89\%$ 落在 $3\sigma$ 以内。