Desviación Estándar
La desviación estándar mide qué tan dispersos están los valores de un conjunto de datos respecto a la media, expresada en las mismas unidades que los datos.
Formula
s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
Definition
La desviación estándar es un número que indica qué tan dispersos están los valores de los datos respecto al promedio: una desviación estándar pequeña significa que los valores se agrupan cerca de la media, una grande significa que están más dispersos. La desviación estándar muestral $s = \sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2/(n-1)}$ mide la distancia promedio respecto a la media, con el denominador $n-1$ (la corrección de Bessel) haciéndola un estimador insesgado de la desviación estándar poblacional $\sigma$, expresada en las unidades originales de medición. Formalmente, $s$ es la raíz cuadrada de la varianza muestral $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2$; por el teorema del límite central, $(\bar{x}-\mu)/(s/\sqrt{n})$ sigue una distribución t con $n-1$ grados de libertad cuando la población es normal, permitiendo pruebas t e intervalos t, y el bootstrap proporciona intervalos de confianza libres de distribución para $\sigma$ cuando los datos no son normales.
Example
Las calificaciones de la Clase A $78$, $80$, $82$ (media $80$) tienen una dispersión pequeña, mientras que las calificaciones de la Clase B $50$, $80$, $110$ (también media $80$) tienen una desviación estándar mucho mayor a pesar del mismo promedio. Para los datos $4$, $7$, $13$, $16$ con media $10$: las desviaciones son $-6$, $-3$, $3$, $6$, las desviaciones al cuadrado $36$, $9$, $9$, $36$ suman $90$, dando $s = \sqrt{90/3} = \sqrt{30}$, aproximadamente $5.48$. El coeficiente de variación $CV = s/\bar{x}$ expresa la desviación estándar como una proporción de la media, permitiendo comparar la variabilidad entre conjuntos de datos con distintas escalas, como la volatilidad de una acción en diferentes niveles de precio.
Key Insight
La desviación estándar es como la "distancia típica" de cada valor respecto a la media, indicando si la mayoría de los valores están juntos o muy dispersos; la regla empírica para distribuciones en forma de campana dice que aproximadamente $68\%$ de los datos caen dentro de $1$ desviación estándar, $95\%$ dentro de $2$, y $99.7\%$ dentro de $3$. La desigualdad de Chebyshev da una cota inferior libre de distribución, $P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$ para cualquier distribución con varianza finita, así que al menos $75\%$ de los datos caen dentro de $2\sigma$ y al menos $89\%$ dentro de $3\sigma$, sin importar la forma de la distribución.