正方形
zhèng fāng xíng
正方形是四条边都相等、四个角都是 90 度的正四边形。
Formula
\text{Area} = s^2; \text{Perimeter} = 4s; \text{Diagonal} = s\sqrt{2}
Definition
正方形有四条相等的边和四个直角，使它既是矩形(四个直角)又是菱形(四边相等)；它是正四边形，所有边全等，所有角都是 $90^\circ$。对于边长 $s$：面积 $=s^2$，周长 $=4s$，对角线 $=s\sqrt{2}$。它的对称群是 $8$ 阶二面体群 $D_4$(四个旋转和四个反射)，在给定周长的所有四边形中它的面积最大；在复平面中，四次单位根 $\{1, i, -1, -i\}$ 是以原点为中心的单位正方形的顶点。
Example
棋盘上的方格、便利贴和大多数地板瓷砖都是正方形；边长为 $5$ 厘米时，面积 $=25$，周长 $=20$ 厘米。对于边长 $7$：面积 $=49$，周长 $=28$，对角线 $=7\sqrt{2}\approx9.9$，由两个以 $90^\circ$ 相交对角线的等腰直角($45$-$45$-$90$)三角形构成。正方形的四种旋转对称($0, 90, 180, 270$ 度)和四种反射对称(通过水平中线、竖直中线和两条对角线)共同构成 $D_4$。
Key Insight
正方形是对称性最强的矩形，旋转 $90^\circ$、$180^\circ$ 或 $270^\circ$ 后看起来都一样，面积公式 $=s^2$ 正是指数运算中"平方"这个词的来源：$s^2$ 的字面意思就是"边长为 $s$ 的正方形的面积"。正方形与四次单位根($z^4=1$)的联系正是该代数恒等式的几何体现，更广泛地说，正 $n$ 边形对应于 $n$ 次单位根，这是几何与抽象代数之间的一座桥梁。