Cuadrado
Un cuadrado es un cuadrilátero regular con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales a 90 grados.
Formula
\text{Area} = s^2; \text{Perimeter} = 4s; \text{Diagonal} = s\sqrt{2}
Definition
Un cuadrado tiene cuatro lados iguales y cuatro esquinas de ángulo recto, lo que lo convierte tanto en un rectángulo (cuatro ángulos rectos) como en un rombo (cuatro lados iguales); es un cuadrilátero regular, todos los lados congruentes y todos los ángulos de $90^\circ$. Para el lado de longitud $s$: área $=s^2$, perímetro $=4s$, diagonal $=s\sqrt{2}$. Su grupo de simetría es el grupo diedral $D_4$ de orden $8$ (cuatro rotaciones y cuatro reflexiones), y alcanza el área máxima entre todos los cuadriláteros con un perímetro dado; en el plano complejo, las cuartas raíces de la unidad $\{1, i, -1, -i\}$ son los vértices de un cuadrado unitario centrado en el origen.
Example
Un cuadro de un tablero de ajedrez, una nota adhesiva, y la mayoría de las baldosas de piso son cuadrados; para lado $5$ cm, área $=25$ y perímetro $=20$ cm. Para lado $7$: área $=49$, perímetro $=28$, diagonal $=7\sqrt{2}\approx9.9$, formada por dos triángulos rectángulos isósceles ($45$-$45$-$90$) cuyas diagonales se encuentran en $90^\circ$. Las cuatro simetrías rotacionales del cuadrado ($0, 90, 180, 270$ grados) y las cuatro reflexiones (a través de la línea media horizontal, la línea media vertical, y las dos diagonales) forman juntas $D_4$.
Key Insight
El cuadrado es el rectángulo más simétrico, se ve igual al rotarlo $90^\circ$, $180^\circ$ o $270^\circ$, y la fórmula área $=s^2$ es literalmente de donde viene la palabra "cuadrado" para un exponente: $s^2$ significa "el área de un cuadrado con lado $s$". La conexión del cuadrado con las cuartas raíces de la unidad ($z^4=1$) es la manifestación geométrica de esa identidad algebraica, y de forma más general, los $n$-gonos regulares corresponden a las raíces $n$-ésimas de la unidad, un puente entre la geometría y el álgebra abstracta.