Raíz Cuadrada
La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, da ese número.
Formula
\sqrt{n} = x \text{ means } x^2 = n \ (x \ge 0)
Definition
La raíz cuadrada de un número es lo que multiplicas por sí mismo para obtener ese número, escrita con el signo radical. Formalmente, la raíz cuadrada principal de $n \ge 0$ es el número real no negativo $x$ tal que $x^2 = n$, escrito $\sqrt{n}$ o $n^{1/2}$; la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto es irracional, y $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$ para $a,b \ge 0$. Como función, $\sqrt{\cdot}: [0,\infty) \to [0,\infty)$ es continua, estrictamente creciente, y cóncava, satisfaciendo $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$; en los números complejos, todo $z$ distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, $\sqrt{|z|}\, e^{i\arg(z)/2}$ y su negativo, tomando la raíz principal $\arg(z)$ en $(-\pi, \pi]$.
Example
$\sqrt{25} = 5$ porque $5 \times 5 = 25$; $\sqrt{9} = 3$; $\sqrt{100} = 10$. Simplifica $\sqrt{72}$: $72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2$, así que $\sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.485$, y nota que $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$, no $-3$. El método de Newton aproxima $\sqrt{a}$ mediante $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$: comenzando con $x_0=1$ para $\sqrt{2}$ se obtiene $x_1=1.5$, $x_2=1.4167$, $x_3=1.41422$, convergiendo de manera cuadrática.
Key Insight
Hallar la raíz cuadrada es lo opuesto (el inverso) de elevar al cuadrado: si elevar al cuadrado construye un cuadrado, la raíz cuadrada indica la longitud del lado de ese cuadrado. $\sqrt{x^2} = |x|$, no $x$, porque la raíz cuadrada siempre es no negativa aunque $x$ mismo pudiera ser negativo. La irracionalidad de $\sqrt{2}$, demostrada por los pitagóricos, fue una de las primeras crisis matemáticas de la historia, destrozando la creencia de que todas las cantidades podían expresarse como razones de enteros y motivando el desarrollo del sistema de números reales.