球
qiú
球是一种完美圆形的三维立体图形，其表面上每一点到球心的距离都相等。
Formula
V = \frac{4}{3}\pi r^3; \ SA = 4\pi r^2
Definition
球是一种完美圆的三维图形，就像一个球体，表面上每一点到球心的距离（半径）都相同：$S^2 = \{x \in \mathbb{R}^3 : |x| = r\}$。体积 $V = (4/3)\pi r^3$，表面积 $SA = 4\pi r^2$；大圆（过球心的平面与球面的交线）半径为 $r$，半球恰好是球的一半。表面积通过球坐标下的曲面积分计算，$$SA = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2 \sin\varphi \, d\theta \, d\varphi,$$ 体积同样可以通过在球坐标下积分求得。
Example
一个半径 $12$ cm 的篮球，体积为 $(4/3) \times \pi \times 12^3 = 2304\pi = 7238$ cm$^3$，表面积为 $4 \times \pi \times 144 = 576\pi = 1810$ cm$^2$。地球半径约为 $6371$ km，表面积为 $4\pi(6371)^2 = 5.1 \times 10^8$ km$^2$，体积为 $(4/3)\pi(6371)^3 = 1.08 \times 10^{12}$ km$^3$，其中约 $71\%$ 的表面是海洋。$\mathbb{R}^n$ 中的n维球 $S^{n-1}$ 体积为 $V_n = \pi^{n/2} r^n / \Gamma(n/2 + 1)$：$n=2$（圆盘）时为 $\pi r^2$，$n=3$（球体）时为 $(4/3)\pi r^3$，$n=4$ 时为 $(\pi^2/2)r^4$，在 $r=1$ 时于 $n=5$ 或 $6$ 附近达到峰值，随后随 $n \to \infty$ 而趋于 $0$。
Key Insight
球是最"高效"的三维图形，在给定表面积下所围的体积最大，这就是为什么自然界在气泡、雨滴和行星中使用球形。阿基米德证明了球恰好能内接于一个直径与高相等的圆柱中，占据该圆柱体积的 $2/3$，而其表面积等于该圆柱的侧面积，这个结果让他十分自豪，甚至要求在自己的墓碑上刻上球内接于圆柱的图案。n维球体积随维数增加而趋于 $0$ 的事实，意味着在高维空间中几乎所有体积都集中在表面附近，这种"测度集中"现象是统计学、机器学习和随机矩阵理论的基础。