Esfera
Una esfera es un sólido 3D perfectamente redondo en el que todo punto de la superficie está a la misma distancia del centro.
Formula
V = \frac{4}{3}\pi r^3; \ SA = 4\pi r^2
Definition
Una esfera es una figura 3D perfectamente redonda, como una pelota, donde cada punto de la superficie está exactamente a la misma distancia (el radio) del centro: $S^2 = \{x \in \mathbb{R}^3 : |x| = r\}$. Volumen $V = (4/3)\pi r^3$ y área de superficie $SA = 4\pi r^2$; el círculo máximo (intersección con un plano que pasa por el centro) tiene radio $r$, y un hemisferio es exactamente la mitad de una esfera. El área de superficie se calcula mediante la integral de superficie en coordenadas esféricas, $$SA = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2 \sin\varphi \, d\theta \, d\varphi,$$ y el volumen se obtiene de manera similar integrando en coordenadas esféricas.
Example
Un balón de baloncesto con radio $12$ cm tiene volumen $(4/3) \times \pi \times 12^3 = 2304\pi = 7238$ cm$^3$ y área de superficie $4 \times \pi \times 144 = 576\pi = 1810$ cm$^2$. El radio de la Tierra es aproximadamente $6371$ km, dando un área de superficie $4\pi(6371)^2 = 5.1 \times 10^8$ km$^2$ y un volumen $(4/3)\pi(6371)^3 = 1.08 \times 10^{12}$ km$^3$, del cual cerca del $71\%$ de la superficie es océano. La n-esfera $S^{n-1}$ en $\mathbb{R}^n$ tiene volumen $V_n = \pi^{n/2} r^n / \Gamma(n/2 + 1)$: $\pi r^2$ para $n=2$ (disco), $(4/3)\pi r^3$ para $n=3$ (bola), $(\pi^2/2)r^4$ para $n=4$, alcanzando su máximo alrededor de $n=5$ o $6$ para $r=1$ antes de disminuir hasta $0$ cuando $n \to \infty$.
Key Insight
La esfera es la figura 3D más "eficiente", encerrando el mayor volumen para su área de superficie, razón por la cual la naturaleza usa esferas en burbujas, gotas de lluvia y planetas. Arquímedes mostró que una esfera encaja perfectamente dentro de un cilindro del mismo diámetro y altura, ocupando exactamente $2/3$ del volumen de ese cilindro mientras que su área de superficie es igual al área de superficie lateral del cilindro, un resultado del que estaba tan orgulloso que pidió que se tallara una esfera dentro de un cilindro en su tumba. El hecho de que el volumen de la n-bola tienda a $0$ a medida que aumenta la dimensión significa que en dimensiones altas casi todo el volumen está cerca de la superficie, un fenómeno de "concentración de la medida" fundamental en estadística, aprendizaje automático y teoría de matrices aleatorias.