45-45-90 三角形
45-45-90 sān jiǎo xíng
45-45-90 三角形是一种特殊的直角三角形，角度为 $45$、$45$ 和 $90$ 度，两条直角边相等，斜边是直角边的 $\sqrt{2}$ 倍。
Formula
\text{legs: } a, a; \quad \text{hypotenuse: } a\sqrt{2}
Definition
$45$-$45$-$90$ 三角形是一个等腰直角三角形，含两个 $45^\circ$ 角和一个 $90^\circ$ 角；两条直角边长度相等，设为 $a$，由勾股定理得斜边 $= a\sqrt{2}$，因为 $a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2$。关键三角值：$\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$。在单位圆上，它对应角度 $\pi/4$，终点 $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ 位于直线 $y = x$ 上，这条对称轴把单位圆映射到自身，解释了为什么 $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4)$。
Example
如果每条直角边为 $5$ 厘米，斜边 $= 5\sqrt{2} \approx 7.07$ 厘米，你可以验证 $5^2 + 5^2 = 50 = (5\sqrt{2})^2$。对角线为 $10$ 的正方形，边长 $= 10/\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$，因为任意正方形的对角线都会产生两个 $45$-$45$-$90$ 三角形。关于 $y = x$ 的反射矩阵的特征值是 $+1$ 和 $-1$，其特征向量分别沿 $45^\circ$ 和 $135^\circ$ 方向，这把三角形的几何性质编码进了这种反射对称性中。
Key Insight
这个三角形恰好是沿对角线切开的正方形的一半，这就是为什么两条直角边相等，而 $45^\circ$ 是唯一使正弦等于余弦的锐角，这使它成为单位圆上一个对称的特殊情形。边长比 $1:1:\sqrt{2}$ 决定了爱森斯坦-雅可比格的格常数，在晶体学中，面心立方结构正是基于这一比例，把这个特殊三角形与材料科学联系了起来。