Triángulo 45-45-90
Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo especial con ángulos de $45$, $45$ y $90$ grados, donde los catetos son iguales y la hipotenusa es $\sqrt{2}$ veces un cateto.
Formula
\text{legs: } a, a; \quad \text{hypotenuse: } a\sqrt{2}
Definition
Un triángulo $45$-$45$-$90$ es un triángulo rectángulo isósceles con dos ángulos de $45^\circ$ y uno de $90^\circ$; ambos catetos tienen la misma longitud $a$, y por el teorema de Pitágoras la hipotenusa $= a\sqrt{2}$, ya que $a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2$. Valores trigonométricos clave: $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$. En el círculo unitario, corresponde al ángulo $\pi/4$, con punto terminal $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ situado sobre la recta $y = x$, el eje de simetría que refleja el círculo unitario sobre sí mismo, explicando por qué $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4)$.
Example
Si cada cateto mide $5$ cm, la hipotenusa $= 5\sqrt{2} \approx 7.07$ cm, y puedes verificar que $5^2 + 5^2 = 50 = (5\sqrt{2})^2$. Un cuadrado con diagonal $10$ tiene lado $= 10/\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$, ya que la diagonal de cualquier cuadrado crea dos triángulos $45$-$45$-$90$. Los valores propios de la matriz de reflexión sobre $y = x$ son $+1$ y $-1$, con vectores propios a lo largo de las direcciones de $45^\circ$ y $135^\circ$, codificando la geometría del triángulo en esta simetría de reflexión.
Key Insight
Este triángulo es exactamente la mitad de un cuadrado cortado por la diagonal, razón por la cual ambos catetos son iguales, y $45^\circ$ es el único ángulo agudo donde el seno es igual al coseno, haciéndolo un caso simétrico y especial en el círculo unitario. La razón de lados $1:1:\sqrt{2}$ determina la constante de red del retículo de Eisenstein-Jacobi, y en cristalografía, la estructura cúbica centrada en las caras se basa en esta razón, conectando el triángulo especial con la ciencia de materiales.