30-60-90 三角形
30-60-90 sān jiǎo xíng
30-60-90 三角形是一种特殊的直角三角形，三边之比为 $1 : \sqrt{3} : 2$。
Formula
\text{sides: } a, a\sqrt{3}, 2a \text{ (opposite } 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \text{ respectively)}
Definition
$30$-$60$-$90$ 三角形的三个角分别为 $30^\circ$、$60^\circ$ 和 $90^\circ$，边长始终保持固定比例 $1 : \sqrt{3} : 2$：最短边为 $1$，中间边为 $\sqrt{3} \approx 1.73$，斜边为 $2$。关键三角值：$\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2$；$\cos(30^\circ) = \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$；$\tan(30^\circ) = \sqrt{3}/3$；$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$。在单位圆上，它对应角度 $\pi/6$ 和 $\pi/3$，终点分别为 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ 和 $(1/2, \sqrt{3}/2)$，这个边长比被编码在分圆域 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 中的代数数里。
Example
如果短边（对着 $30^\circ$ 角）为 $4$，中间边 $= 4\sqrt{3} \approx 6.93$，斜边 $= 8$。一架长 $12$ 米、以 $60^\circ$ 倾斜靠着的梯子，到达高度 $12\sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \approx 10.39$ 米，水平伸展为 $12\cos(60^\circ) = 6$ 米。正六边形由 $6$ 个等边三角形组成，每个都可以再分成两个 $30$-$60$-$90$ 三角形，石墨烯和蜂窝结构中使用的六边形晶格正是这一比例带来的几何结果。
Key Insight
这个三角形是从上到下切开的等边三角形的一半，这就是为什么短边是斜边的一半，比例 $1:\sqrt{3}:2$ 可以用勾股定理验证：$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 = 2^2$。$\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ 和 $\cos(\pi/3) = 1/2$ 是分圆域 $\mathbb{Q}(e^{2\pi i/12})$ 中的代数整数，把初等几何与代数数论联系在了一起。