Triángulo 30-60-90
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial cuyos lados están en la razón $1 : \sqrt{3} : 2$.
Formula
\text{sides: } a, a\sqrt{3}, 2a \text{ (opposite } 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \text{ respectively)}
Definition
Un triángulo $30$-$60$-$90$ tiene ángulos de $30^\circ$, $60^\circ$ y $90^\circ$ con lados siempre en una razón fija, $1 : \sqrt{3} : 2$: el lado más corto es $1$, el lado medio es $\sqrt{3} \approx 1.73$, y la hipotenusa es $2$. Valores trigonométricos clave: $\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2$; $\cos(30^\circ) = \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$; $\tan(30^\circ) = \sqrt{3}/3$; $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. En el círculo unitario, corresponde a los ángulos $\pi/6$ y $\pi/3$ con puntos terminales $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ y $(1/2, \sqrt{3}/2)$, y la razón de lados está codificada en números algebraicos del campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.
Example
Si el lado corto (opuesto a $30^\circ$) es $4$, el lado medio $= 4\sqrt{3} \approx 6.93$ y la hipotenusa $= 8$. Una escalera de $12$ m apoyada a $60^\circ$ alcanza una altura de $12\sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \approx 10.39$ m con un alcance horizontal de $12\cos(60^\circ) = 6$ m. Los hexágonos regulares se construyen a partir de $6$ triángulos equiláteros, cada uno divisible en dos triángulos $30$-$60$-$90$, y la red hexagonal usada en el grafeno y las estructuras de panal es una consecuencia geométrica de esta razón.
Key Insight
Este triángulo es la mitad de un triángulo equilátero cortado de arriba abajo, razón por la cual el cateto corto es la mitad de la hipotenusa, y la razón $1:\sqrt{3}:2$ se puede verificar con el teorema de Pitágoras: $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 = 2^2$. Los valores $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ y $\cos(\pi/3) = 1/2$ son enteros algebraicos en el campo ciclotómico $\mathbb{Q}(e^{2\pi i/12})$, conectando la geometría elemental con la teoría algebraica de números.