Solución
Una solución es un valor (o conjunto de valores) para la variable (o variables) que hace verdadera una ecuación o desigualdad.
Definition
Una solución es el valor de la variable, o el conjunto ordenado de valores para ecuaciones con varias variables, que hace verdadera una ecuación al sustituirlo de nuevo en ella; para una desigualdad, el conjunto solución suele ser un intervalo o una unión de intervalos. Una ecuación condicional tiene exactamente una solución (o finitas), una contradicción no tiene ninguna, y una identidad tiene infinitas, así que reconocer de qué tipo se trata antes de resolver ahorra tiempo. Formalmente, una solución de una ecuación polinómica $p(x) = 0$ es una raíz de $p$ en el dominio de discurso; sobre $\mathbb{C}$, el conjunto solución tiene un tamaño igual a $\deg(p)$ según el Teorema Fundamental del Álgebra (con multiplicidad), y para sistemas de ecuaciones polinómicas, el teorema de Bezout acota el número de soluciones aisladas mediante el producto de los grados.
Example
Para $x + 4 = 10$, la solución es $x = 6$, porque $6 + 4 = 10$; siempre comprueba sustituyendo la respuesta de nuevo. Para el sistema $x + y = 5$ y $x - y = 1$, la solución es el par ordenado $(3, 2)$, ya que $3 + 2 = 5$ y $3 - 2 = 1$. La ecuación $x^4 - 1 = 0$ tiene $4$ soluciones en $\mathbb{C}$: $1$, $-1$, $i$, $-i$ (las raíces cuartas de la unidad), pero solo dos soluciones reales, $1$ y $-1$.
Key Insight
Encontrar una solución es como encontrar la llave correcta para una cerradura: solo el valor correcto hace que ambos lados de la ecuación coincidan. La brecha entre el número de soluciones sobre $\mathbb{R}$ y sobre $\mathbb{C}$ motiva la construcción de cuerpos algebraicamente cerrados, y las soluciones en números reales de un sistema corresponden a los puntos reales de una variedad algebraica.