SOH-CAH-TOA
SOH-CAH-TOA
SOH-CAH-TOA 是用来记忆正弦、余弦和正切这三个基本三角比的口诀。
Formula
\sin = \frac{O}{H}, \quad \cos = \frac{A}{H}, \quad \tan = \frac{O}{A}
Definition
SOH-CAH-TOA 是记忆三个基本直角三角形三角比值的口诀：SOH，正弦 = 对边比斜边；CAH，余弦 = 邻边比斜边；TOA，正切 = 对边比邻边。这些比值只取决于角度，与三角形的大小无关，在单位圆的框架下，它们可以推广到所有角度：对于单位圆上角度为 $\theta$ 的点 $(x, y)$，$\sin(\theta) = y$，$\cos(\theta) = x$，$\tan(\theta) = y/x$。
Example
给定一个 $\theta = 35^\circ$、斜边为 $15$ 的直角三角形：对边 $= 15\sin(35^\circ) \approx 8.60$，邻边 $= 15\cos(35^\circ) \approx 12.29$，且 $\tan(35^\circ) = 8.60/12.29 \approx 0.700$。这些定义与单位圆是一致的：内接于单位圆、角度为 $\theta = \pi/4$ 的 $45$-$45$-$90$ 三角形，两条直角边都是 $\sqrt{2}/2$，这印证了 $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$。
Key Insight
把它当作一个词来念，"SOH-KAH-TOH-AH"，很多学生觉得这样的口诀在考试中很容易记住。这些比值是无量纲的纯数字，这正是它们具有普适性的原因：一个含 $35^\circ$ 角的三角形，无论大小是邮票还是山峰，比值都相同。基于比值的定义只在 $0 < \theta < 90^\circ$ 时有效；单位圆推广的强大之处在于，它对锐角保留了这些比值，同时通过坐标自然地为所有实数定义了 sin、cos 和 tan。